Loading


Уроки рисования для взрослых


Стань женщиной-мечтой





 

 

 

 

 

 

Основные представления фрактальной геометрии и фрактальной физики

Доктор технических наук,
профессор Санкт-Петербургского
Государственного Электротехнического
Университета "ЛЭТИ" В. И. Марголин

Примерно до середины прошлого века физика стремилась к идеализации окружающего мира, который был разнообразен и многолик, один объект этого мира, будучи даже очень похож на другой, все равно от него отличался, и чем глубже мы их изучали, тем больше различий обнаруживалось. С целью приведения удобных для расчета представлений об идеальном физическом объекте делались попытки строить модели объектов реального мира из простых геометрических фигур: прямых линий, правильных окружностей, кубов, параллелепипедов, сфер и многогранников. Классическая кристаллография, например, имела дело исключительно с идеализированными и полностью математизированными формами. Традиционные методы геометрии, широко используемые в естественных науках, в том числе в материаловедении и механике деформируемых тел, основаны на приближенной аппроксимации структуры исследуемого объекта геометрическими фигурами, например линиями, отрезками, плоскостями, многоугольниками, многогранниками, сферами. При этом внутренняя структура исследуемого объекта, как правило, игнорируется, а процессы образования структур и их взаимодействие между собой и с внешней средой характеризуются усредненными, интегральными параметрами. Это приводит к утрате значительной части информации о свойствах и поведении исследуемых систем, которые, в сущности, заменяются более или менее адекватными моделями, причем скорее менее, чем более.

Переход к нанотехнологии и уход в проблемы наномира заставил искать новые физические и геометрические подходы. Поэтому отнюдь не случайно в 1972 -1975 гг. бельгийский математик Бенуа Мандельброт ввел понятие фрактала и фрактальной геометрии для описания реальных объектов и математических абстракций. На первых порах с абстракциями получалось гораздо лучше. Название фрактал Мандельброт произвел от латинского "fractus", что означает дробный, ломаный, нерегулярный, фрагментарный, рекурсивный, создающий фрагменты неправильной формы, и определил как структуру, состоящую из частей, которые в каком-либо смысле подобны целой структуре. Определение это оказалось чрезвычайно широким, поскольку под него попадают практически все объекты реального мира. Любая попытка как-либо уточнить это определение приводит к его неоправданному сужению.

Дракон Пеано


Дракон Пеано

Губка Менгера

Губка Менгера

В другой, тоже авторской трактовке, фрактал - это самоподобная структура, чье изображение не зависит от масштаба (по-научному является масштабно-инвариантным). Фрактал, инвариантный при обычном геометрическом преобразовании, называется самоподобным. Основной термин "фрактал" подразумевает неупорядоченность и относится к структурам ярко выраженной иррегулярности, тогда как определение "масштабно-инвариантный" означает наличие некоторого порядка, хотя в окружающем мире нет ничего строго однородного или строго масштабно-инвариантного.

Горная страна и лимфоциты человеческой крови (скан 16x16 мкм)

Горная страна и лимфоциты человеческой крови (скан 16x16 мкм)

Таким образом, Мандельброт постулировал, что фрактал обладает иерархичностью и масштабной инвариантностью (скейлингом), а одним из важнейших его свойств является свойство самоподобия, т.е. вид фрактала не меняется в любом пространственном масштабе. Сие означает сохранение принципа подобия при различных уровнях рассмотрения структуры - в идеале от атомного силового микроскопа до наблюдений из кабины космического корабля. Вырезав небольшую часть из структуры, имеющей свойства фрактальности, мы можем рассмотреть ее в некотором увеличении и обнаружить, что она подобна всей структуре в целом. Вырезав еще более мелкую часть из уже вырезанной части и увеличив ее, мы опять же с немалым удивлением обнаружим, что и она подобна первоначальной структуре - не абсолютно идентична, но подобна. Если рассматривать идеальную фрактальную структуру, такую операцию мы можем проделывать до бесконечности, и даже самые микроскопические частички будут подобны структуре в целом. Поскольку теоретики, а особенно математики, никогда не слышали, а уж тем более не применяли на практике такие скучные и прозаические вещи, как предел делимости материи, элементарная частица и прочее, то такая точка зрения имеет право на жизнь в человеческом мозгу.

Природные же и техногенные фракталы имеют четко ограниченный интервал масштабов, в котором сохраняется принцип фрактальности и в котором они проявляют свою фрактальную природу. В реальности любой фрактал имеет некоторый минимальный и максимальный масштаб длины, при меньших или больших значениях этой длины самоподобие пропадает или нарушается. Когда в форме фрактала появляются элементы случайности, говорят о "случайных фракталах". Говорить о самоподобии в этих случаях можно, но только в статистическом смысле, т. е. когда нельзя говорить о точных копиях, а только о совпадении статистических характеристик (когда проводится усреднение по всем статистически независимым реализациям объекта).

Для наглядности построим один из фрактальных геометрических объектов, известный под названием кривой Коха. Возьмем отрезок прямой единичной длины, назовем его инициатором (Ко) и разделим на три равные части. Теперь среднюю часть выкинем и заменим ее двумя такими же отрезками, равными 1/3 от первоначального и соединенными друг с другом и оставшимися отрезками, получив, таким образом, второе приближение - ломаную линию, составленную из четырех отрезков равной длины и назовем ее генератором (К,). Далее каждый прямой отрезок получившейся ломаной линии будем преобразовывать согласно этому алгоритму. Будем повторять эту операцию до бесконечности, поскольку в математике нет понятия предела делимости материи. Каждый раз мы делим отрезок на 3 части, среднюю выбрасываем и добавляем ломаную линию, в результате чего первоначально прямой инициатор постепенно превращается во все более длинную изощренного характера ломаную линию, как показано на рисунке.

Рис. 1 Алгоритм построения кривой Коха

Алгоритм построения кривой Коха


Поскольку на каждом шаге каждый отрезок разбивался на три части (а мог бы и на четыре и более), то в итоге получаем фигуру, названную Мандельбротом триадный терагон (от греческого слова терос - чудовище, странное создание) Коха, длина стороны которого е при каждом шаге уменьшается, стремясь в пределе к бесконечно малой величине, но число таких сторон адекватно увеличивается, стремясь к бесконечно большой величине.

При этом при каждом шаге длина кривой Коха L(е) увеличивается на треть и при бесконечном числе шагов длина линии бесконечна. На первом шаге алгоритма длина отрезка 8 составляет 1/3 от первоначальной. Тогда длина кривой Коха вычисляется просто:

L= 4*1/3=4/3=1,33

На втором шагу алгоритма длина элементарного отрезка е = 1/9, соответственно длина кривой:

L = 16* 1 /9 = 16/9 = 1,777

На третьем шагу алгоритма е = 1/27. И длина кривой:

L=64* 1/27=64/27=2,370370

Процесс этот можно продолжить до бесконечности, заметив, что с увеличением числа шагов n длина элементарного отрезка е стремится к 0, а длина кривой L стремится к бесконечности:

L = (4/3)n

е = (1/3)n

где n = 1,2,3... и из этих выражений получаем:

n = (1/1nЗ)*ln(1/е).

Подставляя n получим:

L= exp[n*ln(4/3)]=exp[(ln(4/3)/ln3]*ln(l/e)

Обозначив D=ln4/ln3, получаем:

L(е)=е1-D

Из последнего соотношения видно, что постоянным показателем при любом шаге остается только величина D, поскольку она не зависит от масштаба измерения и является характеристикой линии "кривая Коха". Она называется фрактальной размерностью. С геометрической точки зрения фрактальная размерность является показателем того, насколько плотно эта линия заполняет плоскость или пространство. Аналогичным образом можно рассчитать фрактальную размерность других регулярных фракталов, например, плоского регулярного фрактала - салфетки Серпинского и множества других, измышленных математиками.

Логарифмируя, получим D=ln(4)/ln(3) = 1,2618. Получается, что фрактальная размерность кривой Коха больше, чем у линии, но меньше, чем у плоскости. На самом деле мы имеем дело с особым физическим (или математическим) объектом, относящимся к классу множеств. В зависимости от того, как мы его измеряем, он меняет свои параметры, а, возможно, и свойства. Это уже не линия, но еще и не полноценная плоскость. Кривую Коха можно растянуть в прямую линию, поэтому ее топологическая размерность равна единице. Фрактальная размерность, равная 1,2618.. больше топологической, что и говорит о том, что кривая является структурой, отличной от линии, но еще не ставшей плоскостью. Идеально гладкий лист бумаги есть символ плоскости. Хорошо помятый лист бумаги в принципе представляет собой фрактал, площадь которого зависит от того, как мы его измеряем, хотя до акта помятости никаких сомнений не возникало. Перевод объекта в иные рамки изменил его свойства. Интересный вопрос о фрактальной размерности тонкой вуали, изготовленной из тонких нитей.

Другим математическим фракталом, имеющим аналоги как в нанотехнологии, так и в космогонии, является канторова пыль. Инициатором является единичный отрезок прямой линии. Первый этап построения состоит в разделении интервала на три части и удаления открытой средней части. С глаз долой, из сердца вон. Затем удаляются средние трети у каждого из N=2 оставшихся отрезков. И так до бесконечности. Образовавшееся множество остатков С определяется как двоичное, поскольку N=2, и называется канторовым дисконтинуумом, но Мандельброт предложил его называть канторовой пылью.

В общем случае количество частей, называемое основанием, обозначается буквой b, причем отношение между N-ой частью множества и всем множеством определяется коэффициентом подобия r=1/b. Множество, полученное в результате этих несложных манипуляций, самоподобно, а его размерность определится, как:

D=h N/ln(l/r) = h 2/h 3= 0,6309

Изменяя алгоритм построения (можно делить на 5 частей и удалять четные и т.п.), можно получать и другие значения фрактальной размерности, лежащие в интервале 0 - 1. С топологической же точки зрения все канторовы множества имеют размерность 0, так как по определению, любая точка канторова множества отделена от любой другой, причем для ее отделения ничего не надо удалять. И число таких точек в пределе бесконечно, но в зависимости от генератора построения это будут разные бесконечности и характеризоваться они будут разными фрактальными размерностями. Математические фракталы обладают удивительной и неповторимой красотой. Сейчас известно громадное количество алгоритмов их построения и использование самых разных инициаторов и генераторов. В Интернете можно найти целые галереи различных математических фракталов.

Фрактальный агрегат каждого вещества формируется при определенных физических условиях, которые до конца не поняты. Тем не менее, то, что уже известно, дает возможность использовать законы образования фрактальных агрегатов для создания материалов с необычными физическими свойствами. Так, можно создавать материалы, способные поглощать электромагнитное излучение в достаточно широком диапазоне длин волн, новые красители, жидкокристаллические системы, наноструктуры, твердые вещества с пористостью до 99% и новые технологии борьбы с накипью в паровых котлах и энергетических установках, и конечно же - новые образцы смертоносного оружия.

Реальные физические структуры, как природные, так и техногенные, могут являться (а чаще всего и являются) суммой или разностью множеств с различной фрактальной и топологической размерностью. Причем ни одно из этих множеств нельзя исключить из рас смотрения без потери информации об объекте, даже если они пренебрежимо малы как во фрактальном, так и топологическом смысле. Такую совокупность множеств принято называть неоднородным фракталом.

Работа Мандельброта не являлась причудой впавшего в маразм теоретика, а была связана с реальной, насущной задачей, получившей название "Определение длины береговой линии". На самом деле проблема была в том, что длина государственной границы между двумя государствами оказывается разной для одного государства и для другого. Для Испании - Португалии и Бельгии - Нидерландов эта разница, согласно официальным сведениям, опубликованных в справочниках, составляет до 20%, что может привести даже к локальному конфликту, несмотря на то, что эти государства полностью привержены изумительным общечеловеческим демократическим ценностям. Суть проблемы в том, что при измерении границы (как и любой кривой линии) пользовались разным масштабом. Рассмотрим кривую между точками А и В и попытаемся ее измерить.

Измерение границы или береговой линии

Измерение границы или береговой линии

Если в нашем распоряжении крайне грубый измерительный инструмент, равный расстоянию АВ, то длина линии ему и будет соответствовать. Если он более точный (АС), то и измерение будет более точным, но величина измеренной линии увеличится. И так далее - чем точнее инструмент, тем большую величину мы получаем.

Береговая линия озера является множеством, занимающим промежуточное положение между обычной линией (D=l) и поверхностью (D=2), причем величина 1<D<2 тем больше, чем более изрезанным и неоднородным является берег. Совершенно аналогичная ситуация при определении государственной границы. Разные страны измеряли ее разным масштабом измерения. Те, что поменьше - более тщательно, те, что покрупнее - более безалаберно. Вот и получилась разница аж в 20 километров. Отсюда следует вывод, что все границы между государствами, береговые линии, границы облаков и людских толп, вопящих на площадях - суть фрактальные объекты. С определенными, очень грубыми допущениями, их можно аппроксимировать кривой Коха, но лучше этого не делать, а честно преодолевая немыслимые трудности, заниматься измерением фрактальной размерности реальных физических объектов.

Еще более интересным является анализ реальных объектов, которые можно сопоставить с канторовой пылью. С некоторыми из них каждый из нас знаком от момента рождения до момента наступления летального исхода. Речь идет о системе кровообращения, которая состоит из двух подсистем - артериальной и венозной. Первая из них получает кислород от легких и доносит его и другие необходимые для жизнедеятельности клеток ингредиенты до каждой клетки, а вторая удаляет из них продукты метаболизма. Это значит, что в принципе является абсолютно необходимым, чтобы и артерия, и вена были расположены бесконечно близко от любой клетки или точки тела, - исключая, разумеется, точки, находящиеся внутри артерий или вен. Мандельброт сформулировал это еще более странно: каждая точка ткани, не относящейся к системе кровообращения, должна лежать на границе между двумя кровеносными системами. При этом существует еще конструкторское ограничение, заключающееся в том, что кровь нужно экономить. Отсюда полный объем всех артерий и вен должен составлять лишь малый процент от объема тела, оставляя основную часть пространства тканям. В человеческом организме вся кровь объемом около 5 литров в течение одной минуты полностью прокачивается сердцем через сеть капилляров общей длиной порядка 100 тысяч километров.

С точки зрения классической физики и евклидовой геометрии, эти требования невыполнимы, аномальны и анормальны, однако мы, как ни странно живем, причем некоторые очень даже и неплохо. Искомая фигура должна быть топологически двумерной, так как она образует границу, общую для двух топологически трехмерных фигур, причем требуется, чтобы ее объем являлся одновременно не только пренебрежимо малым по сравнению с объемами фигур, которые она ограничивает, но и гораздо больше этих объемов. Как не вспомнить великого Гашека с идеей существования внутри земного шара другого, по размеру гораздо больше наружного. Однако, что недоступно гуманитарию, то доступно фрактальному физику.

Одно из достоинств фрактального подхода к анатомии заключается в том, что вышеуказанные требования прекрасно сочетаются друг с другом. Вены и артерии являются стандартными трехмерными областями, поскольку в них должны целиком умещаться сферы малого радиуса (кровяные шарики). С другой стороны, сосуды занимают очень небольшую долю от общего объема тела. Ткань - иное дело; в ней нет ни одного участка, сколь угодно малого, который не был бы пересечен и артерией, и веной. Ткань представляет собой фрактальную поверхность: ее топологическая размерность 2, а фрактальная размерность 3. В таком виде вышеприведенные критерии теряют всю свою экстравагантность, а система представляет собой одну из разновидностей канторова множества.

С помощью фрактальной физики легко объясним и такой парадокс, как эффект пылающего неба, заключающийся в том, что в случае бесконечной Вселенной в ней бесконечное количество звезд, и небо ночью должно просто пылать. Поскольку количество излучаемого звездой света прямо пропорционально площади ее поверхности, количество света, достигающее наблюдателя, находящегося от звезды на расстоянии R, должно быть пропорционально 1/R2, но площадь видимой поверхности звезды также пропорциональна 1/R2. Таким образом, отношение количества света к видимому сферическому углу не зависит от R. Кроме того, если распределение звезд во Вселенной равномерно, то практически любое направление взгляда рано или поздно встретит какую-нибудь звезду. Следовательно, небо освещено звездным светом равномерно и должно выглядеть пылающим.

Если же допустить, что Вселенная фрактальна и что ее размерность D<2, то парадокс разрешается сам собой. В этом случае проекция Вселенной на небесный свод является фрактальным множеством той же размерности D, т.е. множеством нулевой площади. Даже если звезды имеют ненулевой радиус, большая часть направлений уходит в бесконечность, не встречая на своем пути ни одной звезды. Если смотреть вдоль этих направлений, то мы увидим только черноту ночного неба. Если за интервалом, в котором D<3, следует интервал, в котором D=3, то фон неба будет не строго черным, но чрезвычайно слабо освещенным. Это простое рассуждение является еще одним кирпичиком в здание теории фрактальной Вселенной, причем неважно, конечной или нет.

Пустыня в Мексике и коллаген на танталовой биосовместимой подложке.

Пустыня в Мексике и коллаген на танталовой биосовместимой подложке.

Развитие представлений фрактальной физики и геометрии позволяет объяснить многие ранее представлявшиеся необъяснимыми явления и феномены. К сожалению, наше мышление пока не приспособлено к осознанию этих понятий и тем более к их интуитивному осознанию. Мы привыкли описывать окружающий нас мир с помощью понятий классической физики, опирающихся на наши органы чувств и их восприятие. Мы в своем воображении легко можем отличить понятия "маленький старый толстый лысый" профессор от "высокого молодого стройного лохматого студента". Но облако с размерностью 2,4 от облака с размерностью 2,8 мы в своем воображении не различаем, хотя это совершенно разные объекты. Будем надеяться, что появление фрактальной геометрии и фрактальной физики есть свидетельство продолжающейся эволюции человека и расширения его способов познания и осознания мира. Возможно, наши правнуки и будут также легко и осмысленно оперировать понятиями фракталов и нелинейной динамики, как мы оперируем понятиями классической физики, только вот жить в это время прекрасное...

 

Главная Магазин Библиотека здоровья Сотрудничество Быстрая навигация Прайсы и каталоги Гостевая книга Полезные ссылки Новости Покупателям Тесты Контакты Форум Диагностика
Copyright. 2014® Все права защищены
digital collage sheet for crafters